MECÂNICA GENERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL [370]

G* = $\psi ^{*}$ = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c} =$

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Um gás de Bose ideal é uma versão quântica de um gás ideal clássico. Ele é composto de bósons, partículas que têm um valor inteiro de spin, e portanto obedecem a estatística de Bose-Einstein. A mecânica estatística de bósons foi desenvolvida por Satyendra Nath Bose para fótons, e estendida posteriormente por Albert Einstein para partículas massivas. Einstein percebeu que um gás ideal de bósons iria se condensar quando a temperatura fosse baixa o suficiente, o que não ocorre com um gás ideal clássico. Esta fase da matéria ficou conhecida como Condensado de Bose-Einstein.

Potencial termodinâmico[editar | editar código-fonte]

Devido a Interação de troca, a maneira mais simples de trabalhar com gases quânticos é com o ensemble grande canônico:

{\mathcal {Z}}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{i}z^{N}e^{-\beta \varepsilon _{i}}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

que para um gás fica:

{\mathcal {Z}}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{i}\}}\,^{\prime }\prod _{i}z^{n_{i}}e^{-\beta n_{i}E_{i}}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

A segunda soma é restrita ao número total de partículas ser $N$ . Uma maneira de fazer tal soma é somar primeiro sobre todos os $N$ possíveis e depois multiplicar todos os níveis. Para um sistema de bósons, qualquer valor de $N$ é permitido, logo:

{\mathcal {Z}}=\prod _{i}(1+ze^{-\beta E_{i}})^{-1}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

O potencial termodinâmico é então:

-PV(z,\beta )=\Omega (z,\beta )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i}\ln(1-ze^{-\beta E_{i}})

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Se o gás possuir apenas graus de liberdade translacionais em $d$ dimensões (os demais casos podem ser tratados de forma análoga):

\Omega (z,\beta ,V^{(d)})={\frac {V^{(d)}}{\beta }}{\frac {2\pi ^{d/2}}{h^{d}\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }p^{d-1}\ln(1-ze^{-\beta p^{2}/2m})-{\frac {1}{\beta }}{\text{Li}}_{1}(z)

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $\Gamma$ é a função gama, ${\text{Li}}_{s}(z)$ é a função polilogarítmica e $V^{(d)}$ é o volume d-dimensional que o gás ocupa.

\Omega (z,\beta ,V^{(d)})=-{\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{2mh^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2+1}{\text{Li}}_{d/2+1}(z)-{\frac {1}{\beta }}{\text{Li}}_{1}(z)

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Note que a função polilogarítmica só está definida para $z$ reais menores ou iguais a 1. O segundo termo que já estava presente na expressão anterior é a contribuição de momento zero, ou seja, do estado de menor energia.

Condensação de Bose-Einstein[editar | editar código-fonte]

O gás de bósons é o sistema mais simples que apresenta o fenômeno de condensação de Bose-Einstein. Para ver esse efeito, escrevemos o número médio de partículas:

N(z,\beta ,V^{(d)})=-\beta z{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}={\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{h^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2}{\text{Li}}_{d/2}(z)+{\text{Li}}_{0}(z)

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

O maior valor da função polilogarítmica acontece em $z=1$ quando o número de partículas em estados excitados é:

N^{(p>0)}(z,\beta ,V^{(d)})={\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{h^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2}\zeta (d)

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Perceba que para $d>2$ isso é um número finito que é atingido numa certa temperatura $T_{0}$ . Todas as demais

N^{(p=0)}=N\left[1-\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{d/2}\right]

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

partículas deverão estar no estado fundamental, não importando quantas sejam (contanto que a aproximação de gás continue valendo).

O abrandamento de átomos por meio de arrefecimento produz um estado quântico único conhecido como condensado de Bose ou condensado de Bose-Einstein. Este fenômeno foi teorizado nos anos 20 por Albert Einstein, ao generalizar o trabalho de Satyendra Nath Bose sobre a mecânica estatística dos Fótons (sem massa) para átomos (com massa). (O manuscrito de Einstein, que se pensava estar perdido, foi encontrado em 2005 numa biblioteca da Universidade de Leiden). O resultado do trabalho de Bose e Einstein é o conceito de gás de Bose, governado pela estatística de Bose-Einstein que descreve a distribuição estatística de partículas idênticas de spin inteiro, conhecidas hoje em dia como Bósons. As partículas bosónicas, que incluem o Fóton e átomos como o He-4, podem partilhar estados quânticos umas com as outras. Einstein especulou que arrefecendo os átomos bosónicos até temperaturas muito baixas os faria colapsar (ou "condensar") para o mais baixo estado quântico acessível, resultando numa nova forma de matéria.

Esta transição ocorre abaixo de uma temperatura crítica, a qual, para um gás tridimensional uniforme consistindo em partículas não-interactivas e sem graus internos de liberdade aparentes, é dada por:

T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}}

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde:

$T_{c}$	é	a temperatura crítica,
$n$		a densidade da partícula,
$m$		a massa por bóson,
$h$		a constante de Planck,
$k_{B}$		a constante de Boltzmann, e
$\zeta$		a função zeta de Riemann; $\zeta (3/2)$ ≈ 2,6124. Dentro da estrutura que a física estatística possibilita, segue-se que com a ajuda de conjuntos estatísticos para um número médio de ocupação $\langle n_{i}\rangle$ $\langle n_{i}\rangle$ dos estados $\|i\rangle$ com a energia $E_{i}$ $E_{i}$ da estatística de Fermi-Dirac: $\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu }{k_{B}T}}+1}}$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$ $\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] = Onde $\mu$ $\mu$ é o potencial químico, $T$ $T$ a temperatura e $k_{B}$ $k_{B}$ a constante de Boltzmann. Estes férmions, que estão sujeitos ao princípio de exclusão de Pauli, podem estar na condição de máxima ocupação, ou seja $\langle n_{i}\rangle \leq 1$ . Esta condição é que a estatística de Fermi-Dirac tratará para qualquer valor de preenchimento pleno $\mu$ $\mu$ , porque o potencial químico de um gás ideal de Fermi não é sujeito a quaisquer restrições. Efeito termiônico é o aumento do fluxo de elétrons que saem de um metal, devido ao aumento de temperatura. Ao aumentar-se substancialmente a temperatura do metal, há uma facilidade maior para a saída dos elétrons. O fenômeno foi inicialmente descrito em 1873 por Frederick Guthrie na Inglaterra enquanto trabalhava em experimentos com objetos carregados. Ele notou comportamentos diferenciados para esferas de metal carregadas com temperaturas muito elevadas, relativo a sua descarga. O efeito termiônico foi acidentalmente redescoberto por Thomas Edison em 1880, enquanto tentava descobrir a razão para a ruptura de filamentos da lâmpada incandescente. Edison construiu um bulbo com a superfície interior coberta com uma folha de metal. Conectou a folha ao filamento da lâmpada com um galvanômetro. Quando na folha foi dada uma carga mais negativa do que a do filamento, nenhuma corrente fluiu entre a folha e o filamento porque a folha fria emitiu poucos elétrons. Entretanto, quando na folha foi dada uma carga mais positiva do que a do filamento, muitos elétrons emissores do filamento quente foram atraídos à folha, fazendo com que a corrente fluísse. Este fluxo de sentido único da corrente foi chamado de efeito Edison. Edison não viu nenhum uso para este efeito, embora o patenteasse em 1883. O físico britânico John Ambrose Fleming, descobriu que o efeito poderia ser usado para detectar ondas de rádio. Fleming trabalhou no desenvolvimento de um tubo de vácuo de dois elementos, conhecido como diodo. Owen Willans Richardson trabalhou com emissão termiônica e recebeu o prêmio Nobel em 1928 em função de seu trabalho e da lei que leva seu nome, a lei de Richardson. Em todo o metal, há um ou dois elétrons por átomo que estão livres para moverem-se de um átomo para outro. Suas velocidades seguem uma distribuição estatística, melhor que ser uniformes, e ocasionalmente um elétron terá velocidade suficiente para sair do metal sem voltar. A quantidade mínima de energia que necessária para que um elétron saia da superfície é chamada a função trabalho, e varia de metal para metal. Um revestimento fino do óxido é aplicado a superfície do metal nos tubos de vácuo para diminuir a função trabalho, pois assim é mais fácil para os elétrons deixarem a superfície do óxido. A lei de Richardson, também chamada de equação de Richardson-Dushmann, relaciona a densidade de corrente emitida com a temperatura: $J=AT^{2}e^{-W \over kT}$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$ $\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] = onde 'T' é a temperatura em kelvin, 'W' é a função trabalho, 'k' é a constante de Boltzmann. A constante de proporcionalidade 'A', conhecida como constante de Richardson, é dada por: $A={4\pi mk^{2}e \over h^{3}}=1,20173\times 10^{6}$ A m^-2 K^-2 $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$ $\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] = onde 'm' e 'e' são a massa e a carga do elétron, e 'h' é a constante de Planck. Devido à função exponencial, a corrente aumenta rapidamente com a temperatura. O efeito termiônico é de fundamental importância na eletrônica. Dentro da estrutura que a física estatística possibilita, segue-se que com a ajuda de conjuntos estatísticos para um número médio de ocupação $\langle n_{i}\rangle$ $\langle n_{i}\rangle$ dos estados $\|i\rangle$ com a energia $E_{i}$ $E_{i}$ da estatística de Fermi-Dirac: $\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu }{k_{B}T}}+1}}$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$ $\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] = Onde $\mu$ $\mu$ é o potencial químico, $T$ $T$ a temperatura e $k_{B}$ $k_{B}$ a constante de Boltzmann. Estes férmions, que estão sujeitos ao princípio de exclusão de Pauli, podem estar na condição de máxima ocupação, ou seja $\langle n_{i}\rangle \leq 1$ . Esta condição é que a estatística de Fermi-Dirac tratará para qualquer valor de preenchimento pleno $\mu$ $\mu$ , porque o potencial químico de um gás ideal de Fermi não é sujeito a quaisquer restrições. Gás ideal simples[editar \| editar código-fonte] Um gás ideal simples pode ser completamente caracterizado apenas pelos seguinte parâmetros macroscópicos: energia interna, volume e número de moles de seus constituintes. Um gás ideal simples é caracterizado por duas equações: ${P \over T}={NR \over V}$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$ $\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] = ${1 \over T}={cNR \over U}$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$ $\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] = Onde: $c$ é uma constante; $R$ é a constante universal dos gases ( $R={N}_{A}{k}_{b}=8,3144J/mol.K$ ); $U$ é a energia interna do sistema; $N$ é o número de moles dos componestes químicos; $T$ é a temperatura do sistema. Gases compostos de átomos monoatômicos não interagentes (tais como He, Ar, Ne) satisfazem essas equações em temperaturas tais que ${k}_{b}T$ seja pequeno quando comparado com as energias de excitação eletrônica e em pressões baixas ou moderadas. Para tais gases ideais monoatômicos $c={3 \over 2}$ .

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

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